1994. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 5, 12 и 13.
Ответ. 2, 15, 3, 10.
Решение. Первый способ. Пусть окружность с центром O
и радиусом r
вписана в прямоугольный треугольник ABC
, в котором BC=a
, AC=b
— катеты, а AB=c
— гипотенуза. Если окружность касается отрезков BC
, AC
и AB
соответственно в точках K
, L
и M
, то OKCL
— квадрат со стороной r
, поэтому
BM=BK=BC-CK=a-r,~AM=AL=AC-CL=b-r,
а так как AM+BM=AB
, то a-r+b-r=c
. Отсюда находим, что
r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{5+12-13}{2}=2.
Пусть окружность с центром O_{a}
и радиусом r_{a}
касается катета BC
в точке P
, а продолжений катета AC
и гипотенузы AB
в точках Q
и T
соответственно. Тогда O_{a}PCQ
— квадрат со стороной r_{a}
, поэтому
r_{a}=O_{a}P=CQ=AQ-AC=p-b=\frac{a+b+c}{2}-b=\frac{a+c-b}{2}=\frac{5+13-12}{2}=3,
где p
— полупериметр треугольника.
Аналогично находим радиусы остальных окружностей.
Второй способ. Пусть a
, b
и c
— стороны произвольного треугольника, S
— его площадь, p
— полупериметр, r
— радиус вписанной окружности, r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон a
, b
и c
соответственно. Тогда
r=\frac{S}{p},~r_{a}=\frac{S}{p-a}
(см. задачу 392). В нашем случае
r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{1}{2}\cdot5\cdot12}{15}=2,~r_{a}=\frac{S}{p-a}=\frac{30}{15-5}=3,
r_{b}=\frac{S}{p-b}=\frac{30}{15-12}=10,~r_{c}=\frac{S}{p-c}=\frac{30}{15-13}=15.
Примечание. Если a
и b
— катеты прямоугольного треугольника, c
— гипотенуза, а p
— полупериметр треугольника, то искомые радиусы равны
p-c=\frac{a+b-c}{2}~,p=\frac{a+b+c}{2},~p-b=\frac{a+c-b}{2},~p-a=\frac{b+c-a}{2}.