2506. На одной из сторон угла взяты две точки A
и B
. Найдите на другой стороне угла точку C
такую, чтобы угол ACB
был наибольшим. Постройте точку C
с помощью циркуля и линейки.
Указание. Задача сводится к построению окружности, проходящей через две данные точки и касающейся данной прямой (см. задачу 112).
Решение. Пусть O
— вершина угла. Через точки A
и B
проведём окружность, касающуюся второй стороны угла (см. задачу 112). Если C
— точка касания, то по теореме о касательной и секущей OC^{2}=OB\cdot OA
. Отрезок OC
— среднее геометрическое отрезков OB
и OA
.
Докажем теперь, что угол ACB
наибольший из всех углов с вершиной на второй стороне данного угла. Пусть M
— точка на этой стороне угла, отличная от C
. Если P
и Q
— точки пересечения с окружностью отрезков AM
и BM
, то угол AMB
измеряется полуразностью дуг AB
и PQ
(см. задачу 27), а угол ACB
— половиной дуги AB
. Следовательно, он больше.