2998. Точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
выбраны на сторонах BC
, CA
и AB
треугольника ABC
соответственно. Оказалось, что AB_{1}-AC_{1}=CA_{1}-CB_{1}=BC_{1}-BA_{1}
. Пусть I_{A}
, I_{B}
и I_{C}
— центры окружностей, вписанных в треугольники AB_{1}C_{1}
, A_{1}BC_{1}
и A_{1}B_{1}C
соответственно. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника I_{A}I_{B}I_{C}
, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник ABC
Решение. Лемма. Если Q
— центр вписанной окружности треугольника XYZ
, а M
— точка пересечения луча YM
с описанной окружностью треугольника XYZ
, то MQ=MX=MZ
(см. задачу 788).
Доказательство. Обозначим \angle YXZ=\alpha
, \angle XYZ=\beta
.
Центр окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения его биссектрис. Значит, XQ
и YQ
— биссектрисы углов YXZ
и XYZ
, а так как XQY
— внешний угол треугольника XQY
, то
\angle XQM=\angle YXQ+\angle XYQ=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}.
Вписанные углы MYZ
и MXZ
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle QXM=\angle QXZ+\angle MXZ=\angle QXZ+\angle MYZ=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}.
Значит, \angle QXM=\angle XQM
. Аналогично \angle QZM=\angle ZQM
. Треугольники QXM
и QZM
равнобедренные, следовательно, MX=MQ=MZ
. Лемма доказана.
Перейдём к нашей задаче. Пусть вписанная в треугольник ABC
окружность касается его сторон BC
, AC
и AB
в точках A_{0}
, B_{0}
и C_{0}
соответственно. Предположим, что точка A_{1}
лежит между A_{0}
и B
.
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому CA_{0}=CB_{0}
и AC_{0}=AB_{0}
. Значит,
CA_{0}+AC_{0}=CB_{0}+AB_{0}=AC.
С другой стороны, по условию задачи AB_{1}-AC_{1}=CA_{1}-CB_{1}
, поэтому
AC=AB_{1}+CB_{1}=CA_{1}+AC_{1}.
Значит, CA_{0}+AC_{0}=CA_{1}+AC_{1}
. Следовательно,
A_{0}A_{1}=CA_{1}-CA_{0}=AC_{0}-AC_{1}=C_{0}C_{1}.
Прямоугольные треугольники IA_{0}A_{1}
и IC_{0}C_{1}
равны по двум катетам, поэтому
\angle A_{0}A_{1}I=\angle C_{0}C_{1}I=\angle BC_{1}I.
Поскольку
\angle BC_{1}I+\angle BA_{1}I=\angle BC_{1}I+(180^{\circ}-\angle A_{0}A_{1}I)=\angle BC_{1}I+(180^{\circ}-\angle BC_{1}I)=180^{\circ},
четырёхугольник BA_{1}IC_{1}
— вписанный. Аналогично четырёхугольники AB_{1}IC_{1}
и CA_{1}IB_{1}
— также вписанные.
Заметим, что точки B
, I_{B}
и I
лежат на биссектрисе угла B
вписанного в окружность треугольника BA_{1}C_{1}
. По лемме II_{B}=IA_{1}
. Аналогично II_{C}=IA_{1}
. Значит, II_{B}=II_{C}
. Аналогично II_{B}=II_{A}
. Таким образом, точка I
равноудалена от вершин I_{A}
, I_{B}
и I_{C}
треугольника I_{A}I_{B}I_{C}
. Следовательно, I
— центр описанной окружности этого треугольника. Что и требовалось доказать.