3176. В треугольнике ABC
(AB\lt BC
) точка I
— центр вписанной окружности, M
— середина стороны AC
, N
— середина дуги ABC
описанной окружности. Докажите, что \angle IMA=\angle INB
.
Указание. Пусть NP
— диаметр окружности. Докажите, что треугольники PIM
и PNI
подобны.
Решение. Первый способ. Серединный перпендикуляр к хорде AC
описанной окружности треугольника ABC
, проходит через центр этой окружности, точку M
и на нём лежит диаметр NP
. Значит, \angle NBP=\angle NAP=90^{\circ}
.
Заметим, что биссектриса угла ABC
проходит через середину P
дуги AC
, не содержащей точки B
, поэтому точка I
пересечения биссектрис треугольника ABC
лежит на отрезке BP
. Значит, AP=IP
(см. задачу 788).
Отрезок AM
— высота прямоугольного треугольника NAP
, поэтому IP^{2}=AP^{2}=PN\cdot PM
, откуда получаем, что \frac{MP}{PI}=\frac{PI}{PN}
, значит, треугольники PIM
и PNI
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \angle IMP=\angle NIP
, а так как
\angle IMA=\angle IMP-\angle PMA=\angle IMP-90^{\circ},
а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle INB=\angle NIP-90^{\circ}=\angle IMP-90^{\circ},
то \angle IMA=\angle INB
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть описанная окружность треугольника BIN
пересекает стороны AB
и BC
в точках C_{0}
и A_{0}
соответственно. Тогда AC_{0}=CA_{0}
(см. задачу 6436), а так как I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, то AC_{0}+CA_{0}=AC
(см. задачу 6437). Тогда CA_{0}=\frac{1}{2}AC=CM
, значит, точки A_{0}
и M
симметричны относительно биссектрисы CI
треугольника ABC
. Следовательно,
\angle IMA=\angle IA_{0}B=\angle INB.
Что и требовалось доказать.
Третий способ. Пусть K
— точка на продолжении стороны AB
за вершину B
. Поскольку N
— середина дуги ABC
, треугольник ANC
равнобедренный, поэтому \angle CBN=\angle CAN=\angle ACN
, а так как ABNC
— вписанный четырёхугольник, то \angle ACN=\angle KBN
. Значит, \angle CBN=\angle KBN
, т. е. луч BN
— биссектриса внешнего угла при вершине B
треугольника ABC
.
Пусть I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон BC
, AC
и AB
соответственно. Тогда I_{a}A
, I_{b}B
и I_{c}C
— высоты треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 4769). Тогда окружность, описанная около треугольника ABC
— это окружность девяти точек треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 174). Точка N
, лежащая на биссектрисе BI_{a}
внешнего угла при вершине B
треугольника ABC
, лежит на этой окружности, значит, N
— середина стороны I_{a}I_{c}
, а IM
— медиана треугольника I_{a}II_{c}
.
Треугольники I_{a}II_{c}
и CIA
подобны, а IN
и IM
— их соответствующие медианы, а INI_{c}
и IMA
— соответствующие углы. Следовательно,
\angle INB=\angle INI_{c}=\angle IMA.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью А.Полянского «Воробьями по пушкам», Квант, 2012, N2, с.49-50 и статью Д.Швецова «Подобие с медианами», Квант, 2021, N7, с.42-47.