3242. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника, r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных a
, b
и c
соответственно, p
— полупериметр треугольника. Докажите, что:
\mbox{а)}~rp=r_{a}(p-a);~\mbox{б)}~rr_{a}=(p-b)(p-c);~\mbox{в)}~r_{b}r_{c}=p(p-a).
Указание. Примените формулы S=rp
, S=r_{a}(p-a)
и формулу Герона.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника.
а)
Первый способ. Из равенств S=rp
и S=r_{a}(p-a)
(см. задачу 392) следует, что pr=(p-a)r_{a}
.
Второй способ. Пусть вписанная окружность с центром I
касается стороны AB=a
треугольника ABC
в точке P
, а вневписанная окружность с центром I_{a}
, касающаяся стороны BC
, касается продолжения стороны AB
в точке Q
. Тогда AP=p-a
(см. задачу 219) и AQ=p
(см. задачу 1750).
Точки I
и I_{a}
лежат на одной прямой (см. задачу 1724), поэтому прямоугольные треугольники AIP
и AI_{a}P
подобны. Следовательно,
\frac{r}{r_{a}}=\frac{AP}{AQ}=\frac{p-a}{p}.
б) Из равенств S=rp
, S=r_{a}(p-a)
и формулы Герона следует, что
rr_{a}=\frac{S}{p}\cdot\frac{S}{p-a}=\frac{S^{2}}{p(p-a)}=\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p(p-a)}=(p-b)(p-c).
в) Из равенств S=r_{b}(p-b)
, S=r_{c}(p-c)
и формулы Герона следует, что
r_{b}r_{c}=\frac{S}{p-b}\cdot\frac{S}{p-c}=\frac{S^{2}}{(p-b)(p-c)}=\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{(p-b)(p-c)}=p(p-a).
Примечание. См. также статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Вневписанная окружность», Квант, 2009, N2, с.34-37, 45.