3244. Пусть r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей треугольника, касающихся сторон, равных a
, b
и c
соответственно, p
— полупериметр треугольника. Докажите, что
r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{a}r_{c}=p^{2}.
Указание. Докажите, что r_{a}r_{b}=p(p-c)
.
Решение. Сложив почленно равенства
r_{a}r_{b}=p(p-c),~r_{b}r_{c}=p(p-a),~r_{a}r_{c}=p(p-b)
(см. задачу 3242), получим, что
r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{a}r_{c}=p(p-c)+p(p-a)+p(p-b)=
=p(p-c+p-a+p-b)=p(3p-2p)=p^{2}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью В.Дроздова «Треугольник и классические неравенства», Квант, 2019, N8, с.40-41.