3251. Докажите, что если углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
, то:
\mbox{а)}~\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2};~\mbox{б)}~\cos\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\beta}{2}+\cos\frac{\gamma}{2}\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Решение. а) Пусть a
, b
и c
— стороны треугольника, противолежащие углам, равным \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, p
— полупериметр треугольника, R
— радиус описанной окружности. Применив теорему синусов и неравенство p\leqslant\frac{3R\sqrt{3}}{2}
(см. задачу 3226), получим, что
\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}=\frac{a+b+c}{2R}=\frac{p}{R}\leqslant\frac{3R\sqrt{3}}{2R}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим треугольник с углами \frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}
, \frac{\pi}{2}-\frac{\beta}{2}
и \frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}
. По доказанному
\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\beta}{2}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}\right)\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
\cos\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\beta}{2}+\cos\frac{\gamma}{2}\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2}
(см. задачу 3250). Что и требовалось доказать.