4117. Окружность с центром I
, вписанная в треугольник ABC
, касается его сторон AB
и AC
в точках M
и N
, а вневписанная окружность с центром I_{a}
касается продолжений сторон AB
и AC
в точках M
и N
. Докажите, что: а) S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}MN\cdot AI_{a}
; б) S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}PQ\cdot AI
.
Решение. Точки A
, I
и I_{a}
лежат на биссектрисе угла BAC
. Пусть K
— точка пересечения MN
и AI_{a}
. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда K
— середина MN
и
\angle IMK=\angle PAI_{a}=\angle MAI=\frac{\alpha}{2}.
Пусть IM=r
и I_{a}P=r_{a}
. Из прямоугольных треугольников AIM
и AI_{a}P
находим, что MK=r\cos\frac{\alpha}{2}
и
AI_{a}=\frac{AP}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{p}{\cos\frac{\alpha}{2}},
где p
— полупериметр треугольника ABC
. Следовательно,
\frac{1}{2}MN\cdot AI_{a}=MK\cdot AI_{a}=r\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{p}{\cos\frac{\alpha}{2}}=pr=S_{\triangle ABC}
(см. задачу 1750),
\frac{1}{2}PQ\cdot AI=r_{a}\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{p-BC}{\cos\frac{\alpha}{2}}=(p-BC)r=S_{\triangle ABC}
(см. задачи 219 и 392).