4128. Докажите, что расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника есть среднее геометрическое диаметра описанной окружности и расстояния между центрами вписанной окружности и окружности девяти точек.
Указание. Примените формулу Эйлера для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника (см. задачу 126) и теорему Фейербаха (см. задачу 6117).
Решение. Пусть r
и R
— радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника, I
и O
— соответственно центры этих окружностей, E
— центр окружности девяти точек треугольника. Требуется доказать, что IO^{2}=2R\cdot IE
.
По формуле Эйлера IO^{2}=R^{2}-2rR
(см. задачу 126). Из теоремы Фейербаха (см. задачу 6117) следует, что IE=\frac{1}{2}R-r
(вписанная окружность треугольника внутренним образом касается окружности девяти точек этого треугольника). Значит,
IO^{2}=R^{2}-2rR=2R\left(\frac{1}{2}R-r\right)=2R\cdot IE.
Что и требовалось доказать.