4160. Найдите точку плоскости, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника минимальна.
Ответ. Точка пересечения медиан.
Решение. Первый способ. Воспользуемся следующим известным фактом: если M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, то
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}
(см. задачу 4501).
Пусть X
— произвольная точка. Тогда
\overrightarrow{XA}=\overrightarrow{XM}+\overrightarrow{MA},~\overrightarrow{XB}=\overrightarrow{XM}+\overrightarrow{MB},~\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{XM}+\overrightarrow{MC},~
\overrightarrow{XA}^{2}=\overrightarrow{XM}^{2}+\overrightarrow{MA}^{2}+2\overrightarrow{XM}\cdot\overrightarrow{MA},
\overrightarrow{XB}^{2}=\overrightarrow{XM}^{2}+\overrightarrow{MB}^{2}+2\overrightarrow{XM}\cdot\overrightarrow{MB},
\overrightarrow{XC}^{2}=\overrightarrow{XM}^{2}+\overrightarrow{MC}^{2}+2\overrightarrow{XM}\cdot\overrightarrow{MC},
Сложив три последних равенства, получим, что
XA^{2}+XB^{2}+XC^{2}=\overrightarrow{XA}^{2}+\overrightarrow{XB}^{2}+\overrightarrow{XC}^{2}=
=3XM^{2}+MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+2\overrightarrow{XM}\cdot\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{XM}\cdot\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{XM}\cdot\overrightarrow{MC}=
=3XM^{2}+MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+2\overrightarrow{XM}\cdot(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=
=3XM^{2}+MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+2\overrightarrow{XM}\cdot\overrightarrow{0}=3XM^{2}+MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}.
Следовательно,
XA^{2}+XB^{2}+XC^{2}\geqslant MA^{2}+MB^{2}+MC^{2},
причём равенство достигается в случае, когда точка X
совпадает с M
.
Второй способ. Воспользуемся следующими известными фактами.
1) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 1:2
, считая от вершины (см. задачу 1207).
2) Если M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, а X
— произвольная точка плоскости, то
\overrightarrow{XM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{BC})
(см. задачу 4505).
3) Из равенства \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{XB}-\overrightarrow{XA}
следует, что
\overrightarrow{XA}\cdot\overrightarrow{XB}=XA^{2}+XB^{2}-AB^{2}.
4) Отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов сторон равно \frac{3}{4}
(см. задачу 4047).
Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— медианы треугольника ABC
. Тогда
\overrightarrow{XM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{BC}),
0\leqslant9\overrightarrow{XM}^{2}=(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{BC})^{2}=
=XA^{2}+XB^{2}+XC^{2}-2\overrightarrow{XA}\cdot\overrightarrow{XB}-2\overrightarrow{XA}\cdot\overrightarrow{XC}-2\overrightarrow{XB}\cdot\overrightarrow{XC}=
=XA^{2}+XB^{2}+XC^{2}+(XA^{2}+XB^{2}-AB^{2})+
+(XA^{2}+XC^{2}-AC^{2})+(XB^{2}+XC^{2}-BC^{2})=
=3(XA^{2}+XB^{2}+XC^{2})-(AB^{2}+AC^{2}+BC^{2})=
=3(XA^{2}+XB^{2}+XC^{2})-\frac{4}{3}(AA_{1}^{2}+CC_{1}^{2}+BB_{1}^{2})=
=3(XA^{2}+XB^{2}+XC^{2})-\frac{4}{3}\left(\frac{9}{4}MA^{2}+\frac{9}{4}MC^{2}+\frac{9}{4}MB^{2}\right)=
=3(XA^{2}+XB^{2}+XC^{2})-3(MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}).
Следовательно,
XA^{2}+XB^{2}+XC^{2}\geqslant MA^{2}+MB^{2}+MC^{2},
причём равенство достигается в случае, когда точка X
совпадает с M
.