4432. Из вершин произвольного выпуклого четырёхугольника опущены перпендикуляры на его диагонали. Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, подобен исходному.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD
; A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
— основания перпендикуляров, опущенных из вершин соответственно A
, B
, C
и D
на диагонали, не проходящие через эти вершины. Поскольку AA_{1}
и BB_{1}
— высоты треугольника AOB
, то треугольник AOB
подобен треугольнику A_{1}OB_{1}
(см. задачу 19). Аналогично, треугольник BOC
подобен треугольнику B_{1}OC_{1}
. При этом коэффициенты подобия в обоих случаях равны \frac{OB}{OB_{1}}
.
Поскольку \angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle BAC
и \angle A_{1}C_{1}B_{1}=\angle ACB
, то треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
подобны по двум углам. Аналогично можно доказать подобие треугольников BCD
и B_{1}C_{1}D_{1}
. Коэффициенты подобия у этих двух пар равны из-за наличия общей пары сходственных сторон. Следовательно, и четырёхугольники ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
подобны.