4777. Даны две точки A
и B
и окружность S
. С помощью циркуля и линейки постройте окружность, проходящую через точки A
и B
и касающуюся окружности S
.
Указание. Пусть P
— точка касания двух окружностей, M
— точка пересечения касательной к двум окружностям, проведённой в точке P
, с прямой AB
, MCD
— секущая данной окружности. Тогда точки A
, B
, C
и D
лежат на одной окружности.
Решение. Первый способ. Предположим, что искомая окружность S_{1}
построена. Пусть P
— точка касания двух окружностей, а M
— точка пересечения общей касательной к этим окружностям, проходящей через точку P
, с прямой AB
.
Проведём через точку M
прямую, пересекающую окружность S
в двух точках C
и D
. Тогда MD\cdot MC=MP^{2}=MA\cdot MB
. Следовательно, точки A
, B
, C
и D
лежат на одной окружности (см. задачу 114).
Отсюда вытекает следующий способ построения. Пусть центр данной окружности S
не лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
(иначе построение упрощается). Возьмём на окружности S
произвольную точку C
и опишем окружность около треугольника ABC
. Пусть D
— вторая точка пересечения построенной окружности с окружностью S
, M
— точка пересечения прямых CD
и AB
. Проведём из точки M
касательные MP
и MQ
к окружности S
(P
и Q
— точки касания). Тогда описанные окружности треугольников ABP
и ABQ
— искомые, поскольку MP^{2}=MQ^{2}=MA\cdot MB
(см. задачу 114).
Второй способ. Пусть точки A
и B
расположены вне окружности S
. Предположим, задача решена: построена окружность l
, проходящая через данные точки A
и B
и касающаяся данной окружности S
в некоторой точке M
.
Рассмотрим инверсию с центром в точке A
. Прямая AB
, проходящая через центр инверсии, перейдёт в себя, точка B
— в точку B'
этой прямой, окружность S
, не проходящая через центр инверсии, — в некоторую окружность S'
, точка M
— в некоторую точку M'
, а окружность l
, проходящая через центр инверсии, — в прямую B'M'
, касающуюся окружности S'
в точке M'
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим образ B'
точки B
при инверсии относительно произвольной окружности с центром A
, затем — образ S'
данной окружности S
. Из точки B'
проводим касательные к окружности S'
. Ещё раз применяем ту же инверсию. Тогда построенные касательные переходят в искомые окружности.
Аналогично для случая, когда точки A
и B
расположены внутри окружности S
.