4812. Две равные окружности касаются друг друга. Постройте такую трапецию, что каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях трапеции.
Указание. Докажите, что углы при большем основании трапеции равны 45^{\circ}
.
Решение. Предположим, что нужная трапеция ABCD
построена. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей, принадлежащие диагоналям AC
и BD
соответственно, R
— радиус окружностей, AD
и BC
— основания трапеции (AD\gt BC
). Тогда (см. задачу 1226)
2R=O_{1}O_{2}=\frac{AD-BC}{2}.
Поскольку AC
и BD
— биссектрисы углов A
и D
трапеции, то AB=BC=CD
. Поэтому трапеция — равнобедренная. Пусть P
— проекция вершины B
на AD
. Тогда
AP=\frac{AD-BC}{2}=2R=BP.
Следовательно,
\angle A=\angle D=45^{\circ}.