4813. В трапецию, у которой меньшее основание равно 6, вписана окружность. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки, равные 9 и 4. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 198.
Указание. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение. Пусть M
и K
— точки касания вписанной окружности с основаниями BC
и AD
трапеции ABCD
(BC=6
), а N
и L
— с боковыми сторонами CD
и AB
(CN=4
, DN=9
). Если O
— центр окружности, то треугольник COD
— прямоугольный (см. задачу 313), поэтому
ON^{2}=CN\cdot ND=36.
Следовательно, радиус R
окружности равен 6.
В прямоугольном треугольнике AOB
известно, что
OL=R=6,~BL=BM=BC-MC=BC-CN=6-4=2.
Поэтому
AK=AL=\frac{OL^{2}}{BL}=\frac{36}{2}=18.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)MK=(AK+KD+BC)R=
=(18+9+6)6=33\cdot6=198.