5118. Вписанная в четырёхугольник ABCD
окружность касается сторон BC
и AB
в точках A_{1}
и C_{1}
соответственно. Докажите, отрезки AA_{1}
и CC_{1}
пересекаются на диагонали BD
.
Указание. Пусть вписанная в четырёхугольник окружность касается сторон AD
и CD
в точках P
и Q
соответственно. Отрезки A_{1}P
, C_{1}Q
и BD
пересекаются в одной точке (см. задачу 790). Далее примените теорему Чевы к треугольнику ABC
(см. задачу 1621).
Решение. Пусть вписанная в четырёхугольник окружность касается сторон AD
и CD
в точках P
и Q
соответственно. Отрезки A_{1}P
, C_{1}Q
и BD
пересекаются в одной точке (см. задачу 790). Обозначим её O
.
Из равенства углов COA_{1}
и AOP
следует, что
\frac{S_{\triangle COA_{1}}}{S_{\triangle AOP}}=\frac{\frac{1}{2}OA_{1}\cdot OC\sin\angle COA_{1}}{\frac{1}{2}OA\cdot OP\sin\angle AOP}=\frac{OA_{1}}{OA}\cdot\frac{OC}{OP}.
С другой стороны,
\angle CA_{1}O=180^{\circ}-\angle BA_{1}P=180^{\circ}-\angle APO,
поэтому
\frac{S_{\triangle COA_{1}}}{S_{\triangle AOP}}=\frac{\frac{1}{2}A_{1}C\cdot A_{1}O\sin\angle CA_{1}O}{\frac{1}{2}OP\cdot AP\sin\angle APO}=\frac{\frac{1}{2}A_{1}C\cdot A_{1}O\sin\angle APO}{\frac{1}{2}OP\cdot AP\sin\angle APO}=\frac{A_{1}C}{OP}\cdot\frac{A_{1}O}{AP}.
Значит,
\frac{OA_{1}}{OA}\cdot\frac{OC}{OP}=\frac{A_{1}C}{OP}\cdot\frac{A_{1}O}{AP}=\frac{A_{1}C}{OP}\cdot\frac{A_{1}O}{AC_{1}},
откуда \frac{CO}{OA}=\frac{A_{1}C}{AC_{1}}
, а так как C_{1}B=BA_{1}
, то
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CO}{OA}=\frac{AC_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CO}{OA}=\frac{AC_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{A_{1}C}{AC_{1}}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 1621) отрезки AA_{1}
, CC_{1}
и BD
пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.