5295. Пусть r_{a}
и r_{b}
— радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон BC=a
и AC=b
соответственно, R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Известно, что r_{a}+r_{b}=2R
. Докажите, что треугольник прямоугольный.
Указание. Пусть AB=c
, полупериметр треугольника ABC
равен p
, а площадь треугольника равна S
. Примените формулы r_{a}=\frac{S}{p-a}
, S=\frac{abc}{4S}
, формулу Герона и теорему, обратную теореме Пифагора.
Решение. Пусть AB=c
, полупериметр треугольника ABC
равен p
, а площадь треугольника равна S
. Тогда r_{a}=\frac{S}{p-a}
, r_{b}=\frac{S}{p-b}
(см. задачу 393) и R=\frac{abc}{4S}
(см. задачу 4259). Значит,
\frac{S}{p-a}+\frac{S}{p-b}=2\cdot\frac{abc}{4S}~\Leftrightarrow~\frac{2S^{2}(p-a+p-b)}{(p-a)(p-b)}=abc~~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{2p(p-a)(p-b)(p-c)c}{(p-a)(p-b)}=abc~\Leftrightarrow~2cp(p-c)=abc~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{2c(a+b+c)(a+b-c)}{4}=abc~\Leftrightarrow~(a+b)^{2}-c^{2}=2ab~\Leftrightarrow~a^{2}+b^{2}=c^{2}.
Следовательно, треугольник прямоугольный (см. задачу 1972).