5318. В данный полукруг впишите прямоугольник: а) наибольшей площади; б) наибольшего полупериметра.
Ответ. а) Сторона прямоугольника, лежащая на диаметре полукруга, вдвое больше соседней стороны.
б) Сторона прямоугольника, лежащая на диаметре полукруга, вчетверо больше соседней стороны.
Решение. Пусть вершины A
и B
прямоугольника ABCD
лежат на диаметре полукруга, вершины C
и D
— на дуге полукруга, O
— центр полукруга, R
— радиус.
Обозначим \angle BOC=\alpha
(0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}
). Тогда OB=R\cos\alpha
, BC=\sin\alpha
а) Пусть S_{\alpha}
— площадь прямоугольника ABCD
. Тогда
S(\alpha)=AB\cdot BC=2R\cos\alpha\cdot R\sin\alpha=R^{2}\sin2\alpha\leqslant R^{2},
причём равенство достигается в случае, когда \sin2\alpha=1
, т. е. при \alpha=45^{\circ}
. Тогда AB=2BC
.
б) Пусть P_{\alpha}
— периметр прямоугольника ABCD
. Тогда
P(\alpha)=2(AB+BC)=2(2R\cos\alpha+R\sin\alpha)=2R(2\cos\alpha+\sin\alpha)\leqslant2R\sqrt{5}
(см. задачу 5436), причём равенство достигается в случае, когда \tg\alpha=\frac{1}{2}
, т. е. при \alpha=\arctg\frac{1}{2}
. Тогда AB=4BC
.