5333. Противоположные стороны AB
и CD
четырёхугольника ABCD
разделены точками соответственно M
и N
в равных отношениях, считая от вершин A
и D
. Докажите, что отрезок MN
делит отрезок с концами в серединах двух других сторон в том же отношении и делится сам этим отрезком пополам.
Указание. Примените векторы.
Решение. Пусть \frac{AM}{MB}=\frac{DN}{NC}=\frac{m}{n}
, точки K
и L
— середины сторон BC
и AD
соответственно, O
— точка отрезка KL
, для которой \frac{OL}{OK}=\frac{m}{n}
. Тогда
\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{KO},
\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LO}.
Умножим первое равенство на n
, второе на m
и сложим полученные равенства. Учитывая, что m\overrightarrow{MB}=-n\overrightarrow{MA}
и m\overrightarrow{BK}=-n\overrightarrow{AL}
, получим, что
(m+n)\overrightarrow{MO}=m\overrightarrow{BK}+n\overrightarrow{AL}.
Аналогично
(m+n)\overrightarrow{NO}=m\overrightarrow{CK}+n\overrightarrow{DL},
а так как \overrightarrow{BK}=-\overrightarrow{CK}
и \overrightarrow{AL}=-\overrightarrow{DL}
, то \overrightarrow{MO}=-\overrightarrow{NO}
. Следовательно, O
— середина отрезка MN
.
Точки K
и O
— середины отрезков BC
и MN
, поэтому (см. задачу 4504)
\overrightarrow{KO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN})=\frac{1}{2}\left(\frac{n}{m+n}\overrightarrow{BA}+\frac{n}{m+n}\overrightarrow{CD}\right)=\frac{n}{2(m+n)}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}).
Аналогично
\overrightarrow{OL}=\frac{m}{2(m+n)}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}).
Следовательно, \frac{KO}{OL}=\frac{n}{m}
.