5357. Найдите необходимое и достаточное условие, связывающее длины сторон треугольника ABC
, при котором окружность, проходящая через вершину C
и середины сторон AC
и BC
, проходит через точку пересечения медиан треугольника.
Ответ. a^{2}+b^{2}=2c^{2}
, где BC=a
, AC=b
, AB=c
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
треугольника ABC
, K
— точка пересечения отрезка CM
со средней линией A_{1}B_{1}
; BC=a
, AC=b
, AB=c
, CC_{1}=m_{c}
. Тогда
CK=\frac{1}{2}CC_{1}=\frac{1}{2}m_{c},~MK=\frac{1}{2}MC_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}m_{c}=\frac{1}{6}m_{c}.
Предположим, что точки C
, A_{1}
, B_{1}
и M
лежат на одной окружности. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627) CK\cdot KM=A_{1}K\cdot KB_{1}
, или
\frac{1}{2}m_{c}\cdot\frac{1}{6}m_{c}=\frac{c}{4}\cdot\frac{c}{4},~\frac{1}{12}m_{c}^{2}=\frac{1}{16}c^{2}.
Отсюда находим, что m_{c}^{2}=\frac{3}{4}c^{2}
.
По формуле для квадрата медианы (см. задачу 4104)
\frac{3}{4}c^{2}=m_{c}^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2}).
Отсюда получаем, что a^{2}+b^{2}=2c^{2}
.
Пусть теперь известно, что a^{2}+b^{2}=2c^{2}
. Докажем, что точки C
, A_{1}
, B_{1}
и M
лежат на одной окружности. Действительно,
a^{2}+b^{2}=2c^{2}~\Rightarrow~\frac{3}{4}c^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})~\Rightarrow~
\Rightarrow~m_{c}^{2}=\frac{3}{4}c^{2}~\Rightarrow~\frac{1}{2}m_{c}\cdot\frac{1}{6}m_{c}=\frac{c}{4}\cdot\frac{c}{4}~\Rightarrow~CK\cdot KM=A_{1}K\cdot KB_{1}.
Следовательно, точки C
, A_{1}
, B_{1}
и M
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Что и требовалось доказать.