5368. Рассмотрим всевозможные параллелограммы, вписанные в данный четырёхугольник так, что их стороны параллельны диагоналям четырёхугольника. Найдите геометрическое место центров этих параллелограммов.
Ответ. Если данный четырёхугольник не является параллелограммом, то искомое ГМТ — отрезок с концами в серединах P
и Q
диагоналей четырёхугольника без точек P
и Q
. Если данный четырёхугольник параллелограмм, то искомое множество состоит из одной точки — центра данного четырёхугольника.
Указание. Примените векторы и воспользуйтесь результатом задачи 4504.
Решение. Предположим, данный четырёхугольник не является параллелограммом.
Пусть вершины K
, L
, M
и N
параллелограмма KLMN
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и AD
данного четырёхугольника ABCD
, причём KL\parallel MN\parallel AC
, LM\parallel KN\parallel BD
, а P
и Q
— середины диагоналей AC
и BD
соответственно. Докажем, что центр O
параллелограмма KLMN
лежит внутри отрезка PQ
.
Действительно, пусть \frac{AK}{AB}=k
. Тогда
\frac{CM}{CD}=\frac{CL}{BC}=\frac{AK}{KB}=k,
\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})
(см. задачу 4504), а так как O
— середина диагонали KM
параллелограмма KLMN
, то
\overrightarrow{PO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{CM})=\frac{1}{2}(k\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{CD})=k\cdot\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})=k\overrightarrow{PQ}.
Значит, векторы \overrightarrow{PO}
и \overrightarrow{PQ}
коллинеарны. Следовательно, точки P
, Q
и O
лежат на одной прямой, а так как 0\lt k\lt1
, то точка O
лежит внутри отрезка PQ
. Что и требовалось доказать.
Пусть теперь O
— произвольная внутренняя точка отрезка PQ
. Докажем, что существует параллелограмм, вершины которого лежат на сторонах четырёхугольника ABCD
, а стороны параллельны его диагоналям.
Обозначим \frac{PO}{PQ}=k
, где 0\lt k\lt1
. На сторонах AB
, BC
, CD
и AD
четырёхугольника ABCD
отметим такие точки K
, L
, M
и N
соответственно, для которых
\frac{AK}{KB}=\frac{CL}{BC}=\frac{DM}{CD}=\frac{DN}{AD}=k.
Тогда
KL\parallel AC,~KL=\frac{BL}{BC}\cdot AC=(1-k)AC,~
MN\parallel AC,~MN=\frac{DM}{CD}\cdot AC=(1-k)AC,
Противоположные стороны KL
и MN
четырёхугольника KLMN
равны и параллельны, значит, это параллелограмм, причём его стороны параллельны диагоналям четырёхугольника ABCD
. Если O'
точка пересечения диагоналей этого параллелограмма, то O'
— середина KM
. Тогда по доказанному ранее \overrightarrow{PO'}=k\overrightarrow{PQ}
, следовательно, точка O'
совпадает с O
. Таким образом, каждая внутренняя точка отрезка PQ
есть центр какого-то параллелограмма, о котором говорится в условии задачи. Что и требовалось доказать.
Если данный четырёхугольник параллелограмм, то P
и Q
совпадают с его центром. В этом случае искомое множество состоит из одной точки — центра данного четырёхугольника.