5384. Через точку, взятую внутри треугольника ABC
, проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые высекают на сторонах BC
, AC
и AB
отрезки, равные a
, b
и c
соответственно. Докажите, что
\frac{a}{BC}+\frac{b}{AC}+\frac{c}{AB}=1.
Указание. Указанные прямые разбивают треугольник ABC
на три треугольника и три параллелограмма. Если площади этих треугольников равны S_{a}
, S_{b}
и S_{c}
, то
\sqrt{S_{\triangle ABC}}=\sqrt{S_{a}}+\sqrt{S_{b}}+\sqrt{S_{c}}
(см. задачу 3028).
Решение. Указанные прямые разбивают треугольник ABC
на три треугольника и три параллелограмма. Обозначим площади треугольников, примыкающих к сторонам BC
, AC
и AB
, через S_{a}
, S_{b}
и S_{c}
соответственно. Тогда, если S
— площадь треугольника ABC
, то
\sqrt{S}=\sqrt{S_{a}}+\sqrt{S_{b}}+\sqrt{S_{c}}
(см. задачу 3028).
Треугольники, примыкающие к сторонам BC
, AC
и BC
, подобны треугольнику ABC
с коэффициентами \frac{a}{BC}
, \frac{b}{AC}
и \frac{c}{AB}
соответственно, поэтому
\frac{a}{BC}=\frac{\sqrt{S_{a}}}{\sqrt{S}},~\frac{b}{AC}=\frac{\sqrt{S_{b}}}{\sqrt{S}},~\frac{c}{AB}=\frac{\sqrt{S_{c}}}{\sqrt{S}}.
Сложив эти равенства, получим, что
\frac{a}{BC}+\frac{b}{AC}+\frac{c}{AB}=\frac{\sqrt{S_{a}}}{\sqrt{S}}+\frac{\sqrt{S_{b}}}{\sqrt{S}}+\frac{\sqrt{S_{c}}}{\sqrt{S}}=
=\frac{\sqrt{S_{a}}+\sqrt{S_{b}}+\sqrt{S_{c}}}{\sqrt{S}}=\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{S}}=1.
Что и требовалось доказать.