5391. Дан параллелограмм ABCD
. Пусть O
— точка пересечения его диагоналей, \omega
— окружность, описанная около треугольника ABO
, S
— точка, диаметрально противоположная O
, а P
и Q
— точки пересечения окружности \omega
с отрезками SD
и SC
соответственно. Докажите, что прямые AP
и BQ
пересекаются на стороне CD
.
Указание. Пусть прямая BQ
пересекает сторону CD
в точке B_{1}
. Докажите, что OB_{1}\perp CD
.
Решение. Первый способ. Пусть прямая BQ
пересекает сторону CD
в точке B_{1}
. Четырёхугольник AOQB
вписан в окружность \omega
и AB\parallel CD
, поэтому
\angle CB_{1}Q=\angle ABQ=180^{\circ}-\angle AOQ=\angle COQ.
Из точек O
и B_{1}
отрезок CQ
виден под одним и тем же углом, значит, точки O
, B_{1}
, C
и Q
лежат на одной окружности, а так как \angle OQC=\angle OQS=90^{\circ}
(вписанный угол, опирающийся на диаметр), то OC
— диаметр этой окружности. Тогда \angle OB_{1}C=90^{\circ}
, т. е. OB_{1}\perp CD
.
Аналогично, если A_{1}
— точка пересечения AP
и CD
, то OA_{1}\perp CD
. Из единственности перпендикуляра получаем, что точки A_{1}
и B_{1}
совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Рассмотрим вписанный самопересекающийся шестиугольник BQSPAO
. Продолжения его «противоположных» сторон SQ
и AO
пересекаются в точке C
, продолжения «противоположных» сторон BO
и SP
— в точке D
. Пусть продолжения его «противоположных» сторон BQ
и AP
пересекаются в точке T
. Тогда по теореме Паскаля (см. задачу 6390) точки C
, D
и T
лежат на одной прямой. Отсюда следует утверждение задачи.