5449. Докажите, что площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического её оснований.
Указание. Пусть K
— точка касания окружности с центром O
, вписанной в равнобедренную трапецию ABCD
, с боковой стороной AB
. Тогда отрезок OK
— высота прямоугольного треугольника AOB
(см. задачу 313), проведённая из вершины прямого угла.
Решение. Пусть K
, M
и L
— точки касания окружности радиуса r
с центром O
, вписанной в равнобедренную трапецию ABCD
, с боковой стороной AB
и основаниями BC=a
и AD=b
соответственно.
Отрезок OK
— высота прямоугольного треугольника AOB
(см. задачу 313), проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
r=OK=\sqrt{BK\cdot AK}=\sqrt{BM\cdot AL}=\sqrt{\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{ab}.
Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, т. е. 2r=\sqrt{ab}
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{a+b}{2}\cdot2r=\frac{a+b}{2}\cdot\sqrt{ab}.
Что и требовалось доказать.