5465. Через вершину A
квадрата ABCD
проведены два луча, образующие угол 45^{\circ}
. Один луч пересекает сторону BC
в точке M
и диагональ BD
в точке N
, другой — сторону CD
в точке P
и диагональ BD
в точке Q
. Докажите, что точки C
, M
, N
, P
, Q
лежат на одной окружности.
Указание. Точки A
, D
, P
и N
лежат на одной окружности.
Решение. Поскольку \angle PAN=45^{\circ}
и \angle PDN=\angle CDB=45^{\circ}
, из точек A
и D
, лежащих по одну сторону от прямой PN
, отрезок PN
виден под одним и тем же углом. Значит, точки A
, D
, P
и N
лежат на одной окружности (см. задачу 12), а так как \angle ADP=90^{\circ}
, то AP
— диаметр этой окружности. Следовательно, \angle MNP=\angle ANP=90^{\circ}
. Аналогично \angle MQP=90^{\circ}
.
Из точек N
, Q
и C
отрезок MP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MP
. Следовательно, точки C
, M
, N
, P
, Q
лежат на этой окружности.