5662. Точка D
на стороне BC
треугольника ABC
такова, что радиусы вписанных окружностей треугольников ABD
и ACD
равны. Докажите, что радиусы окружностей, вневписанных в треугольники ABD
и ACD
, касающихся соответственно отрезков BD
и CD
, также равны.
Решение. Первый способ. Рассмотрим общую внешнюю касательную l
(отличную от BC
) для окружностей \sigma_{1}
и \sigma_{2}
, вписанных в треугольники ABD
и ACD
. Из равенства окружностей следует, что l\parallel BC
.
Рассмотрим гомотетию с центром A
, переводящую прямую l
в прямую BC
. При этой гомотетии окружность \sigma_{1}
перейдёт в окружность, отличную от \sigma_{1}
, вписанную в угол BAD
и касающуюся прямой BC
, т. е. в соответствующую вневписанную окружность треугольника ABD
. Аналогично, \sigma_{2}
перейдёт во вневписанную окружность треугольника ACD
. Отсюда вытекает утверждение задачи, так как при гомотетии равные окружности переходят в равные.
Второй способ. Пусть высота треугольника ABC
, опущенная из вершины A
, равна h
, площади треугольников ABD
и ACD
равны S_{1}
, S_{2}
, радиусы их вписанных окружностей равны r
, радиусы вневписанных окружностей (о которых идёт речь в задаче) — r_{1}
и r_{2}
соответственно.
Положив AB=c
, AD=d
, BD=x
, находим (см. задачу 392), что
2S_{1}=r_{1}(c+d-x),~\frac{1}{r_{1}}=\frac{c+d+x}{2S_{1}}-\frac{x}{S_{1}}=\frac{1}{r}-\frac{2}{h}.
Аналогично \frac{1}{r_{2}}=\frac{1}{r}-\frac{2}{h}
, откуда r_{1}=r_{2}
.