5667. На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности.
а) Докажите, что общая хорда этих окружностей делится пополам средней линией трапеции.
б) Найдите основания трапеции, если известно, что её диагонали перпендикулярны, равны 10 и 24, а расстояние между центрами окружностей равно 1.
Ответ. 14 и 12.
Решение. а) Пусть M
и N
— середины диагоналей соответственно AC
и BD
трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
, K
— середина боковой стороны CD
. Тогда MK
и NK
— средние линии треугольников ACD
и BCD
, поэтому MK\parallel AD
и NK\parallel BC
, а так как AD\parallel BC
, то MK\parallel NK
. Значит, прямые MK
и NK
совпадают, а точки M
и N
лежат на прямой, параллельной основаниям трапеции и проходящей через середину боковой стороны, т. е. на прямой, содержащей среднюю линия трапеции.
Линия центров MN
пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и делит её пополам (см. задачу 1130), а прямая MN
параллельна основаниям трапеции и проходит через середину боковой стороны, следовательно, общая хорда делится пополам средней линией трапеции.
б) Обозначим BC=x
, AD=y
(x\lt y
). Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции равен их полуразности (см. задачу 1226) поэтому
MN=\frac{AD-BC}{2}=\frac{y-x}{2}=1.
Через вершину B
проведём прямую, параллельную диагонали AC
. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания AD
в точке L
. Тогда BL\perp BD
и BL=AC=24
. По теореме Пифагора
DL=\sqrt{BL^{2}+BD^{2}}=\sqrt{24^{2}+10^{2}}=26,
а так как DL=AL+AD=BC+AD
, то сумма оснований трапеции равна 26, а средняя линия равна 13. Таким образом, \frac{y-x}{2}=1
и \frac{y+x}{2}=13
. Из этой системы находим, что x=12
, y=14
.