5671. В остроугольном треугольнике KLM
на стороны KM
и KL
опущены высоты LE
и MF
.
а) Докажите, что \angle LEF=\angle LMF
.
б) Найдите площадь четырёхугольника EFLM
, если известно, что LM=6
, площадь треугольника EKF
равна 1, а радиус окружности, описанной около треугольника KLM
, равен \frac{9\sqrt{2}}{4}
.
Ответ. 8.
Решение. а) Из точек E
и F
отрезок LN
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром LN
. Вписанные в эту окружность углы LEF
и LMF
опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны.
б) Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, \angle LMK=\alpha
. По теореме синусов (см. задачу 23)
\sin\alpha=\frac{LN}{2R}=\frac{6}{2\cdot\frac{9\sqrt{2}}{4}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Тогда \cos\alpha=\frac{1}{3}
.
Треугольник KEF
подобен треугольнику KLM
с коэффициентом k=\cos\alpha
(см. задачу 19), поэтому
S_{\triangle KLM}=\left(\frac{1}{k}\right)^{2}S_{\triangle KEF}=9.
Следовательно,
S_{EFLM}=S_{\triangle KLM}-S_{\triangle KEF}=9-1=8.