5987. Трапеция ABCD
с основаниями AB
и CD
вписана в окружность \Omega
. Окружность \omega
проходит через точки C
, D
и пересекает отрезки CA
, CB
в точках A_{1}
, B_{1}
соответственно. Точки A_{2}
и B_{2}
симметричны точкам A_{1}
и B_{1}
относительно середин отрезков CA
и CB
соответственно. Докажите, что точки A
, B
, A_{2}
и B_{2}
лежат на одной окружности.
Решение. Первый способ. По условию AA_{1}=CA_{2}
и BB_{1}=CB_{2}
. Пусть D_{1}
— вторая точка пересечения \omega
с AD
(рис. 1). Из симметрии AD=BC
и AD_{1}=BB_{1}
. Значит,
CA_{2}\cdot CA=AA_{1}\cdot AC=AD_{1}\cdot AD=BB_{1}\cdot BC=CB_{2}\cdot CB.
Следовательно (см. задачу 114), точки A
, B
, A_{2}
и B_{2}
лежат на одной окружности.
Второй способ. Обозначим через O_{1}
и O
центры окружностей \omega
и \Omega
соответственно; оба этих центра лежат на серединном перпендикуляре l
к основаниям трапеции. Пусть O_{2}
— точка, симметричная O_{1}
относительно O
(рис. 2). Тогда O_{2}
также лежит на l
, поэтому O_{2}A=O_{2}B
. Проекции точек O_{2}
и O_{1}
на BC
симметричны относительно проекции точки O
, т. е. относительно середины B'
отрезка BC
. Поскольку проекция точки O_{1}
является серединой отрезка CB_{1}
, из симметрии следует, что проекция точки O_{2}
— середина отрезка BB_{2}
. Значит, B_{2}O_{2}=BO_{2}
. Аналогично
A_{2}O_{2}=AO_{2}=BO_{2}=B_{2}O_{2}.
Итак, точки A
, B
, A_{2}
, B_{2}
лежат на окружности с центром O_{2}
.