5990. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
и CC_{1}
. Окружность \Omega
, описанная около треугольника ABC
, пересекает прямую A_{1}C_{1}
в точках A'
и C'
. Касательные к \Omega
, проведённые в точках A'
и C'
, пересекаются в точке B'
. Докажите, что прямая BB'
проходит через центр окружности \Omega
.
Решение. Первый способ. Угол BA_{1}C_{1}
(совпадающий с BA_{1}C'
) измеряется полусуммой дуг BC'
и CA'
, а равный ему угол BAC
(см. задачу 141) — половиной дуги BC
. Значит, дуги BA'
и BC'
равны. Поэтому точки B'
и B
лежат на серединном перпендикуляре к хорде A'C'
окружности \Omega
. Центр O
окружности \Omega
также лежит на этом серединном перпендикуляре. Следовательно, прямая BB'
проходит через точку O
.
Второй способ. Пусть O
— центр окружности \Omega
. Тогда OB\perp A'C'
(см. задачу 480), а так как B'O\perp A'C'
, то точки B'
, B
и O
лежат на одной прямой.