5998. В треугольник ABC
вписана окружность \omega
с центром в точке I
. Около треугольника AIB
описана окружность \Gamma
. Окружности \omega
и \Gamma
пересекаются в точках X
и Y
. Общие касательные к окружностям \omega
и \Gamma
пересекаются в точке Z
. Докажите, что окружности, описанные около треугольников ABC
и XYZ
, касаются.
Решение. Пусть биссектриса CI
повторно пересекает описанную окружность \Omega
треугольника ABC
в точке S
. Тогда SB=SI=SA
(см. задачу 788), значит, S
— центр окружности \Gamma
. Из симметрии точка Z
лежит на прямой SC
.
Пусть общие касательные к окружностям \omega
и \Gamma
касаются \Gamma
в точках M
и N
. Линия центров SI
является серединным перпендикуляром к отрезку MN
, а прямая MZ
касается \Gamma
, то
\angle IMN=\angle INM=\angle IMZ.
Значит, MI
— биссектриса угла ZMN
. Тогда расстояния от I
до ZM
и MN
равны. Поскольку \omega
касается ZM
, она также касается прямой MN
в некоторой точке Z'
. Из симметрии, эта точка лежит на SI
.
Из прямоугольного треугольника SMZ
получаем SZ\cdot SZ'=SM^{2}
(см. задачу 2728). Это означает, что при инверсии относительно окружности \Gamma
точка Z'
перейдёт в точку Z
. Точки X
и Y
, лежащие на окружности инверсии, остаются на месте, значит, окружность \omega
, содержащая точки X
, Y
и Z'
, перейдёт в описанную окружность треугольника XYZ
. При этой инверсии прямая AB
переходит в окружность, проходящую через точки A
, B
и центр S
окружности инверсии, т. е. в окружность \Omega
. Поскольку \omega
и AB
касаются, их образы также будут касаться, что и требовалось.
Примечание. Другое решение можно получить, сделав инверсию относительно окружности \omega
. При этой инверсии: точки A
, B
, C
переходят в середины A''
, B''
, C''
сторон B'C'
, C'A'
, A'B'
треугольника с вершинами в точках касания \omega
со сторонами треугольника ABC
; окружность \Gamma
переходит в прямую XY
, которая содержит среднюю линию A''B''
треугольника A'B'C'
; описанная окружность треугольника XYZ
переходит в окружность \omega'
, симметричную \omega
относительно XY
. Значит, надо доказать, что \omega'
касается описанной окружности треугольника A''B''C''
. А это верно, поскольку при симметрии относительно XY
последняя окружность переходит в описанную окружность треугольника A''B''C''
, которая касается \omega
.