6067. Гипотенуза AC
прямоугольного треугольника ABC
равна 2. Точка O
середина AC
, а I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что OI\geqslant\sqrt{2}+1
.
Решение. Точка O
— центр описанной окружности радиуса R=1
прямоугольного треугольника ABC
. Пусть луч BI
пересекает окружность в точке M
. Тогда по теореме о трилистнике (см. задачу 788) MA=MI=MC
, значит, точки A
, I
и C
лежат на окружности \Omega
с центром M
и радиусом
MA=2R\sin\angle ABM=2\sin45^{\circ}=\sqrt{2}.
Пусть I_{0}
— середина дуги AIC
окружности \Omega
. Тогда
OI+OM\geqslant MI=MI_{0}=MI_{0}=OM+OI_{0}.
Следовательно,
OI\geqslant OI_{0}=MI_{0}-OM=MA-OM=\sqrt{2}-R=\sqrt{2}-1.
Что и требовалось доказать.