6177. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 24, точка касания вписанной окружности с боковой стороной делит эту сторону в отношении 5:8
, считая от основания. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.
Ответ. 15
или 24
.
Решение. Первый способ. Пусть AD
— высота равнобедренного треугольника ABC
, опущенная на его основание BC
, O
— центр вписанной окружности, P
— точка её касания с боковой стороной AB
. Положим AP=8x
, BP=5x
. Тогда AB=AP+BP=13x
, BD=BP=5x
.
По теореме Пифагора AB^{2}-BD^{2}=AD^{2}
, или
(13x)^{2}-(5x)^{2}=24^{2},~8\cdot18x^{2}=24^{2},
откуда x=2
. Значит,
AP=8x=16,~BD=5x=10,~AB=13x=26.
Обозначим \angle BAD=\alpha
. Из прямоугольного треугольника ABD
находим, что \tg\alpha=\frac{BD}{AD}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}
.
Пусть окружность с центром O_{1}
и радиусом r_{1}
касается продолжений боковых сторон AB
и AC
в точках F
и G
соответственно (рис. 1), а также основания BC
. Тогда D
— точка касания, поэтому
BF=BD=10,~AF=AB+BF=AB+BD=26+10=36.
Следовательно,
r_{1}=O_{1}F=AF\tg\alpha=36\cdot\frac{5}{12}=15.
Пусть теперь окружность с центром O_{2}
радиуса r_{2}
касается боковой стороны AB
, продолжения основания BC
в точке Q
и продолжения боковой стороны AC
в точке K
(рис. 2). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO_{2}
и AD
— биссектрисы смежных углов BAK
и DAB
, значит, \angle DAO_{2}=90^{\circ}
. Тогда ADQO_{2}
— прямоугольник. Следовательно, r_{2}=O_{2}Q=AD=24
.
Радиус окружности, касающейся боковой стороны AC
и продолжений основания BC
и боковой стороны AB
, также равен 45.
Второй способ. Пусть S
— площадь треугольника ABC
, p
— его полупериметр. Тогда
S=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot20\cdot24=240,
r_{1}=\frac{S}{p-BC}=\frac{240}{36-20}=\frac{240}{16}=15,
r_{2}=\frac{S}{p-AB}=\frac{240}{36-26}=\frac{240}{10}=24
(см. задачу 392).