6330. Биссектриса угла A
треугольника ABC
пересекает вписанную в этот треугольник окружность в точках F
и L
. Точка D
— основание перпендикуляра из точки C
на эту биссектрису, K
— основание перпендикуляра из центра вписанной окружности на BD
. Докажите, что точки F
, L
, B
и K
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть окружность с центром I
, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон BC
, AC
и AB
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Из точек D
и A_{1}
отрезок IC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром IC
. Вписанные в эту окружность углы CA_{1}D
и CID
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle CA_{1}D=\angle CID
, а так как IC\perp A_{1}B_{1}
и B_{1}C_{1}\perp ID
, то \angle CID=\angle A_{1}B_{1}C_{1}
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle A_{1}B_{1}C_{1}=\angle BA_{1}C_{1}
. Таким образом, \angle CA_{1}D=\angle BA_{1}C_{1}
. Следовательно, точки D
, A_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой.
Из точек K
и A_{1}
отрезок IB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром IB
. Прямая DC_{1}
— общая секущая этой окружности и вписанной окружности треугольника ABC
, поэтому DF\cdot DL=DC_{1}\cdot DA_{1}=DB\cdot DK
. Следовательно, точки F
, L
, B
и K
лежат на одной окружности (см. задачу 114).
Аналогично для остальных случаев.