6518. Центр O
описанной окружности четырёхугольника ABCD
не лежит на диагоналях этого четырёхугольника. Прямые AB
и CD
пересекаются в точке E
, а прямые AD
и BC
— в точке F
.
а) Докажите, что все шесть описанных окружностей треугольников ABF
, CDF
, BEC
, ADE
, BOD
и AOC
пересекаются в некоторой точке K
.
б) Верно ли, что точка K
лежит на прямой EF
, а прямые EF
и OK
перпендикулярны?
Ответ. б) Верно и то, и другое.
Решение. Лемма. Если E
— точка пересечения прямых AB
и CD
, F
— точка пересечения прямых AD
и BC
, то описанные окружности треугольников ABF
, CDF
, BEC
и ADE
проходят через одну общую точку.
Доказательство. Для определённости будем считать, что точка E
лежит на продолжениях отрезков AB
и DC
за точки B
и C
, а точка F
— на продолжениях AD
и BC
за точки D
и C
.
Пусть описанные окружности треугольников BCE
и CDF
пересекаются в точке K
, отличной от C
. Поскольку вписанные в первую из этих окружностей углы BEC
и BKC
опираются на одну и ту же дугу, то \angle BKC=\angle BEC
, а так как EDF
— внешний угол треугольника AED
, то
\angle CDF=\angle EDF=\angle EAD+\angle AED.
Поэтому
\angle BAF+\angle BKF=\angle EAD+(\angle BKC+\angle CKF)=
=\angle EAD+(\angle AED+180^{\circ}-\angle CDF)=
=\angle EAD+(\angle AED+180^{\circ}-\angle EAD-\angle AED)=180^{\circ}.
Значит, четырёхугольник ABKF
— вписанный. Аналогично докажем, что четырёхугольник ADKE
— также вписанный. Таким образом, точка K
лежит на окружностях, описанных около треугольников ABF
, CDF
, BEC
и ADE
. Лемма доказана. Заметим, что она верна для любого (а не только для вписанного) четырёхугольника.
Для завершения доказательства пункта а) нашей задачи осталось показать, что если четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с центром O
, то точка K
лежит на описанных окружностях треугольников BOD
и AOC
.
Заметим, что BCD
— внешний угол треугольника BCE
, а CBE
— внешний угол треугольника ABF
, поэтому \angle BCD\gt\angle CBE\gt\angle BAD
. Значит, точка O
лежит внутри треугольника ABD
. Тогда четырёхугольник BODK
— выпуклый. Докажем, что он вписанный (это будет означать, что описанная окружность треугольника BOD
проходит через точку K
). Действительно,
\angle BOD+\angle BKD=\angle BOD+(\angle BKC+\angle CKD)=\angle BOD+(\angle BEC+\angle CFD)=
=\cup BC+\cup CD+\frac{\smile DA-\smile BC}{2}+\frac{\smile AB-\smile CD}{2}=
=\frac{\smile BC+\smile CD+\smile DA+\smile AB}{2}=\frac{360^{\circ}}{2}=180^{\circ}
(см. задачи 26 и 27), где все дуги, разумеется, являются соответствующими дугами окружности с центром O
. Аналогично докажем, что четырёхугольник BODK
также вписанный, а значит, точка K
лежит и на описанной окружности треугольника AOC
.
б) Докажем, что точка K
лежит на прямой EF
. В самом деле,
\angle CKE+\angle CKF=(180^{\circ}-\angle CBE)+(180^{\circ}-\angle CDF)=
=\angle ABC+\angle CDA=180^{\circ},
что и требовалось доказать.
Рассмотрим описанную окружность четырёхугольника OBKD
. Вписанные в неё углы OKB
и OKD
опираются на равные хорды OB
и OD
, поэтому \angle OKB=\angle OKD
. Значит,
\angle BKE=\angle BCE=\angle DCF=\angle DKF.
Тогда
\angle OKE=\angle OKB+\angle BKE=\angle OKD+\angle DKF=\angle OKF,
Следовательно, OK\perp EF
.