6653. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты BB_{1}
и CC_{1}
; A_{0}
— середина стороны BC
. Прямые A_{0}B_{1}
и A_{0}C_{1}
пересекают прямую, проходящую через вершину A
параллельно прямой BC
, в точках P
и Q
. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника PA_{0}Q
лежит на высоте треугольника ABC
.
Решение. Первый способ. Треугольники BCB_{1}
и BCC_{1}
— прямоугольные (рис. 1), поэтому их медианы B_{1}A_{0}
и C_{1}A_{0}
равны половине гипотенузы, т. е.
B_{1}A_{0}=A_{0}C=A_{0}B=C_{1}A_{0}.
Далее,
\angle PB_{1}A=\angle CB_{1}A_{0}=\angle B_{1}CA_{0}=\angle PAC,
и, значит, PA=PB_{1}
. Аналогично, QA=QC_{1}
. Следовательно, вписанная окружность треугольника PA_{0}Q
касается его сторон в точках A
, B_{1}
, C_{1}
(см. задачу 4728), а так как высота AA_{1}
перпендикулярна PQ
, то ней лежит центр этой окружности.
Второй способ. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
(рис. 2), O
— середина AH
. Тогда точки A_{0}
, B_{1}
, C_{1}
, O
лежат на окружности девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174), а так как из основания A_{1}
высоты AA_{1}
отрезок A_{0}O
виден под прямым углом, то A_{0}O
— диаметр этой окружности, и
\angle OB_{1}A_{0}=\angle OC_{1}A_{0}=90^{\circ}.
С другой стороны, точки B_{1}
и C_{1}
лежат на окружности с диаметром AH
, и при этом OA\perp PQ
, OB_{1}\perp A_{0}P
и OC_{1}\perp A_{0}Q
. Значит, PQ
, A_{0}P
и A_{0}Q
— касательные к этой окружности (см. задачу 1735). Следовательно, это и есть вписанная окружность треугольника PA_{0}Q
.