6660. Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно основания биссектрисы, проведённой к этой же стороне. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.
Решение. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе. Отсюда и из условия задачи следует, что радиус r_{c}
вневписанной окружности, касающейся стороны AB=c
треугольника ABC
, равен высоте h_{c}
, проведённой к этой стороне. Поскольку площадь треугольника S=(p-c)r_{c}=\frac{ch_{c}}{2}
, где p
— полупериметр треугольника (см. задачу 392), то
c=2(p-c)=\frac{2}{3}p=\frac{1}{2}\cdot2p.