6755. Через точку M
, лежащую внутри треугольника ABC
, проведены три прямые, параллельные сторонами треугольника. Отрезки прямых, заключённые внутри треугольника, равны между собой. Найдите длины этих отрезков, если стороны треугольника равны a
, b
и c
.
Ответ. \frac{2abc}{ab+bc+ac}
.
Решение. Пусть QL=x
, KH=y
и PG=z
— отрезки, высекаемые указанными в условии прямыми на сторонах BC=a
, AC=b
и AB=c
соответственно (см. рис.). Тогда
\frac{GH}{a}+\frac{PQ}{b}+\frac{KL}{c}=2
(см. задачу 6754). Обозначим GH=PQ=KL=t
. Тогда
t\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2.
Отсюда находим, что
t=\frac{2abc}{ab+bc+ac}.