6795. Через точку O
, расположенную внутри треугольника ABC
, проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Они разбивают треугольник на три параллелограмма и три треугольника с площадями S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
. Найдите точку O
, для которой сумма \sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}}
была бы наименьшей.
Ответ. O
— точка пересечения медиан данного треугольника.
Решение. Пусть S
— площадь данного треугольника. Тогда
S=(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}})^{2}
(см. задачу 3028), откуда
S=S_{1}+S_{2}+S_{3}+2\sqrt{S_{1}S_{2}}+2\sqrt{S_{1}S_{3}}+2\sqrt{S_{2}S_{3}}\leqslant
\leqslant S_{1}+S_{2}+S_{3}+(S_{1}+S_{2})+(S_{1}+S_{3})+(S_{2}+S_{3})=
=3(S_{1}+S_{2}+S_{3}),
откуда S_{1}+S_{2}+S_{3}\geqslant\frac{S}{3}
, причём равенство достигается при S_{1}=S_{2}=S_{2}=\frac{S}{9}
. Тогда треугольники с площадями S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
подобны исходному треугольнику с коэффициентом \frac{1}{3}
.
Пусть AM
— медиана исходного треугольника ABC
. Тогда OM
— соответствующая ей медиана OM
одного из трёх указанных в условии треугольников со стороной на отрезке BC
. Значит, \frac{OM}{AM}=\frac{1}{3}
, а \frac{AO}{OM}=2
. Таким образом, точка O
, лежащая на медиане AM
треугольника ABC
, делит её в отношении 2:1
, считая от вершины. Следовательно, O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.