6910. Пусть H
— точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC
. Окружность с центром в середине стороны BC
, проходящая через точку H
, пересекает прямую BC
в точках A_{1}
и A_{2}
. Аналогично окружность с центром в середине стороны CA
, проходящая через точку H
, пересекает прямую CA
в точках B_{1}
и B_{2}
, а окружность с центром в середине стороны AB
, проходящая через точку H
, пересекает прямую BC
в точках C_{1}
и C_{2}
. Докажите, что точки A_{1}
, A_{2}
, B_{1}
, B_{2}
, C_{1}
, C_{2}
лежат на одной окружности.
Указание. Вторая точка пересечения каждой пары из указанных окружностей лежит на высоте треугольника.
Решение. Пусть A_{0}
, B_{0}
, C_{0}
— середины сторон BC
, CA
, AB
соответственно, а окружности с центрами B_{0}
и C_{0}
, проходящие через точку H
, вторично пересекаются в точке A'
. Отрезок B_{0}C_{0}
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому B_{0}C_{0}\parallel BC
. С другой стороны, линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде (см. задачу 1130), поэтому B_{0}C_{0}\perp A'H
. Значит, A'H\perp BC
, а так как точка H
лежит на высоте треугольника ABC
, проведённой из вершины A
, то точка A'
также лежит на этой высоте.
По теореме о произведении всей секущей на её внешнюю часть (см. задачу 2636)
AB_{1}\cdot AB_{2}=AA'\cdot AH=AC_{1}\cdot AC_{2},
значит, точки B_{1}
, B_{2}
, C_{1}
, C_{2}
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Обозначим её \omega_{1}
. Центр O
этой окружности лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
, которые совпадают с серединными перпендикулярами к сторонам AC
и AB
. Следовательно, O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
.
Аналогично докажем, что точки A_{1}
, A_{2}
, C_{1}
, C_{2}
лежат на окружности с тем же центром O
. Обозначим её \omega_{2}
. Окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
имеют общий центр O
и обе проходят через точку H
, значит, они совпадают. Следовательно, все шесть точек A_{1}
, A_{2}
, B_{1}
, B_{2}
, C_{1}
, C_{2}
лежат на одной окружности.