6914. Две окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
, содержащиеся внутри окружности \Gamma
, касаются \Gamma
в различных точках M
и N
соответственно. Окружность \Gamma_{1}
проходит через центр окружности \Gamma_{2}
. Прямая, проходящая через две точки пересечения окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
, пересекает окружность \Gamma
в точках A
и B
. Прямые MA
и MB
пересекают \Gamma_{1}
в точках C
и D
соответственно. Докажите, что CD
касается \Gamma_{2}
.
Указание. См. задачи 89, 4831, 6391, 6392.
Решение. Лемма 1. Пусть окружность \gamma_{1}
касается окружности \gamma
внутренним образом в точке P
, а хорды XY
окружности \gamma
— в точке Q
. Тогда середина R
дуги XY
, не содержащей точки P
, лежит на прямой PQ
, и её степень относительно окружности \gamma_{1}
равна RX^{2}
.
Доказательство. Из задачи 89 (лемма Архимеда о сегменте) следует, что прямая PQ
проходит через середину дуги XY
, не содержащей точки P
, т. е. R
— середина этой дуги (рис. 1). При этом диагональ PR
вписанного четырёхугольника PXRY
— биссектриса угла XPY
, значит, треугольник RQX
подобен треугольнику RXP
(см. задачу 4831). Тогда \frac{RQ}{RX}=\frac{RX}{RP}
. Следовательно, RQ\cdot RP=RX^{2}
. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть окружность \gamma_{1}
проходит через центр S
окружности \gamma_{2}
и общие касательные к \gamma_{1}
и \gamma_{2}
касаются окружности \gamma_{1}
в точках X
и Y
. Тогда прямая XY
касается окружности \gamma_{2}
.
Доказательство. Пусть указанные общие касательные пересекаются в точке Z
. Тогда центр окружности, вписанной в треугольник XZY
, — середина содержащейся внутри угла XZY
дуги XY
окружности \gamma_{1}
. Осталось заметить, что вписанная окружность равнобедренного треугольника XZY
совпадает с окружностью \gamma_{2}
(точка S
— их общий центр, а радиусы равны расстоянию от S
до прямой XZ
). Следовательно, прямая XY
касается \gamma_{2}
.
Перейдём к решению задачи. Проведём хорды EF
и GH
окружности \Gamma
, касающиеся окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
(рис. 3). Прямая AB
— радикальная ось пересекающихся окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
(см. задачу 6392), т. е. геометрическое место точек, имеющих равные степени относительно \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
. По лемме 1 степени середины A'
дуги EAF
относительно окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
равны, так как A'E^{2}=A'F^{2}
. Значит, точка A'
лежит на радикальной оси \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
, а следовательно, совпадает с A
. Аналогично, B
— середина дуги GBH
.
Из леммы 1 также следует, что прямая MA
вторично пересекает окружность \Gamma_{1}
в точке касания этой окружности с прямой EF
, т. е. в точке C
. Значит, точка C
лежит на прямой EF
. Аналогично, точка D
лежит на прямой GH
. Следовательно, по лемме 2 прямая CD
касается окружности \Gamma_{2}
. Что и требовалось доказать.