6929. Окружности радиусов r
и R
(r\lt R)
с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно касаются внешним образом в точке K
. Первая прямая касается этих окружностей соответственно в точках A
и B
, а вторая прямая — соответственно в точках D
и C
. Прямые AB
и CD
пересекаются в точке Q
. Найдите:
а) длину отрезка BC
;
б) длину отрезка AK
;
в) площадь четырёхугольника QBO_{2}C
;
г) расстояние от точки Q
до большей окружности.
Ответ. а) \frac{4R\sqrt{rR}}{R+r}
; б) \frac{2r\sqrt{R}}{\sqrt{R+r}}
; в) \frac{2R^{2}\sqrt{rR}}{R-r}
; г) \frac{2R^{2}}{R-r}
.
Решение. Пусть F
— проекция точки O_{1}
на радиус O_{2}B
второй окружности. Обозначим \angle FO_{1}O_{2}=\alpha
. Из прямоугольного треугольника FO_{1}O_{2}
находим, что
\cos\alpha=\frac{O_{1}F}{O_{1}O_{2}}=\frac{AB}{O_{1}O_{2}}=\frac{2\sqrt{rR}}{R+r},~\sin\alpha=\frac{O_{2}F}{O_{1}O_{2}}=\frac{R-r}{R+r}.
а) Пусть P
— точка пересечения BC
и O_{2}Q
. Тогда BC\perp O_{2}Q
, P
— середина BC
(см. задачу 1180), а
\angle PBO_{2}=90^{\circ}-\angle BO_{1}P=\angle FO_{1}O_{2}=\alpha.
Следовательно,
BC=2BP=2\cdot O_{2}B\cos\alpha=2R\cdot\frac{2\sqrt{rR}}{R+r}=\frac{4R\sqrt{rR}}{R+r}.
б) Треугольник AKB
прямоугольный, \angle AKB=90^{\circ}
(см. задачу 365). Пусть продолжение катета AK
пересекает вторую окружность в точке E
. Тогда \angle BKE=90^{\circ}
, поэтому BE
— диаметр второй окружности, треугольник ABE
прямоугольный, а BK
— его высота, опущенная на гипотенузу. По теореме Пифагора
AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{4rR+4R^{2}}=2\sqrt{R(r+R)}.
Следовательно (см. задачу 2728),
AK=\frac{AB^{2}}{AE}=\frac{4rR}{2\sqrt{R(r+R)}}=\frac{2r\sqrt{R}}{\sqrt{R+r}}.
в) Из прямоугольного треугольника BO_{2}Q
находим, что
O_{2}Q=\frac{O_{2}B}{\sin\angle BQO_{2}}=\frac{R}{\sin\alpha}=\frac{R}{\frac{R-r}{R+r}}=\frac{R(R+r)}{R-r}.
Диагонали O_{2}Q
и BC
четырёхугольника QBO_{2}C
перпендикулярны, поэтому его площадь равна половине их произведения (см. задачу 3018). Следовательно,
S_{QBO_{2}C}=\frac{1}{2}O_{2}Q\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot\frac{R(R+r)}{R-r}\cdot\frac{4R\sqrt{rR}}{R+r}==\frac{2R^{2}\sqrt{rR}}{R-r}.
г) Расстояние от точки Q
до большей окружности равно длине отрезка QK
, а так как O_{2}Q=\frac{2R(R+r)}{R-r}
, то
QK=O_{2}Q-O_{2}K=\frac{2R(R+r)}{R-r}-R=\frac{2R^{2}}{R-r}.