6942. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по углу, противолежащей стороне и радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен: \angle BAC=\alpha
— данный угол, BC=a
— данная сторона, r_{a}
— радиус вневписанной окружности с центром O_{a}
, касающейся стороны BC
.
Поскольку O_{a}
— точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах B
и C
треугольника ABC
, то
\angle BO_{a}C=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770). Значит, точка O_{a}
лежит на дуге BC
, вмещающей угол 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 12). В то же время, точка O_{a}
удалена от прямой BC
на расстояние r_{a}
. Отсюда вытекает следующее построение.
Строим отрезок BC=a
и дугу окружности с хордой BC
, вмещающую угол 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 2889). На расстоянии r_{a}
от прямой BC
проводим прямую, параллельную BC
. Пусть O_{a}
— точка пересечения этой прямой с построенной дугой. Строим окружность с центром O_{a}
и радиусом r_{a}
, а затем проводим через точки B
и C
касательные к ней, отличные от прямой BC
. Точка пересечения этих касательных — вершина A
искомого треугольника.
Действительно, по построению точка O_{a}
— центр окружности радиуса r_{a}
, касающейся стороны BC
, равной a
, а так как \angle BO_{a}C=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
и BO_{a}
и CO_{a}
— биссектрисы внешних углов при вершинах B
и C
треугольника ABC
, то
\angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC-\angle ACB=
=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\angle CBO_{a})-(180^{\circ}-2\angle BCO_{a})=
=2(\angle CBO_{a}+\angle BCO_{a})-180^{\circ}=2\left(180^{\circ}-90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)-180^{\circ}=\alpha.
Построение возможно, если, во-первых, прямая, параллельная BC
, пересекает построенную дугу, т. е.
r_{a}\leqslant\frac{1}{2}BC\ctg\frac{1}{2}\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{a}{2}\ctg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right);
во-вторых, точка касания окружности с центром O_{a}
и радиусом r_{a}
лежит на отрезке BC
, т. е. r_{a}\ctg\frac{\alpha}{2}\lt a
. Следовательно, построение возможно при
a\tg\frac{\alpha}{2}\lt r_{a}\leqslant\frac{a}{2}\ctg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right).