6946. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по радиусам трёх его вневписанных окружностей.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен: r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон BC
, AC
, AB
соответственно. Пусть h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
— высоты треугольника, проведённые из вершин A
, B
, C
соответственно. Тогда
h_{a}=\frac{2r_{b}r_{c}}{r_{b}+r_{c}},~h_{b}=\frac{2r_{a}r_{c}}{r_{a}+r_{c}},~h_{c}=\frac{2r_{a}r_{b}}{r_{a}+r_{b}}.
(см. задачу 3235). Отрезок h_{a}
можно построить, например, так. Построим произвольную трапецию с основаниями r_{b}
и r_{c}
. Через точку пересечения её диагоналей проведём прямую, параллельную основаниям. Тогда отрезок этой прямой, заключённый внутри трапеции, равен \frac{2r_{b}r_{c}}{r_{b}+r_{c}}
(см. задачу 1512). Аналогично строятся отрезки h_{b}
и h_{c}
. (Также можно воспользоваться построением из задачи 2608.)
Таким образом, наша задача сводится к построению треугольника по трём высотам (см. задачу 2468).