6964. На катетах AC
и BC
прямоугольного треугольника ABC
как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M
. Прямая, проходящая через точку C
вторично пересекает эти окружности в точках P
и Q
соответственно.
а) Докажите, что отрезок PQ
виден из точки M
под прямым углом.
б) Найдите PQ
, если AM=1
, BM=3
, а Q
— середина меньшей дуги MB
окружности с диаметром BC
.
Ответ. 2.
Решение. а) Точка M
лежит на гипотенузе AB
, так как
\angle AMC+\angle BMC=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}.
Четырёхугольник AMPC
вписан в окружность с диаметром AC
, поэтому
\angle MPQ=180^{\circ}-\angle CPM=\angle BAC
(см. задачу 6). Вписанные в окружность с диаметром BC
углы CQM
и CBM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle PQM=\angle CQM=\angle CBM=\angle CBA,
а так как \angle BAC+\angle CBA=90^{\circ}
, то и \angle MPQ+\angle PQM=90^{\circ}
. Следовательно, \angle PMQ=90^{\circ}
.
б) Отрезок CM
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла C
. Значит,
CM=\sqrt{AM\cdot MB}=\sqrt{1\cdot3}=\sqrt{3},~\tg\angle BAC=\tg\angle MAC=\frac{CM}{AM}=\sqrt{3}.
Следовательно,
\angle BAC=60^{\circ},~\angle ACM=30^{\circ},~\angle ABC=30^{\circ},\angle BCM=60^{\circ},~AC=2AM=2.
Поскольку Q
— середина меньшей дуги MB
окружности с диаметром BC
, луч CQ
— биссектриса вписанного в эту окружность угла MCB
, значит, \angle PCM=\frac{1}{2}\angle BCM=30^{\circ}
. По теореме синусов
MP=AC\sin\angle PCM=2\sin30^{\circ}=1.
Вписанные в окружность с диаметром BC
углы CQM
и CBM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle PQM=\angle CQM=\angle CBM=\angle ABC=30^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника PMQ
находим, что PQ=2MP=2
.