7502. Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30^{\circ}
. Найдите радиусы сфер.
Ответ. \sqrt{3}
, \frac{\sqrt{3}}{4}
, \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Указание. Если окружности радиусов r
и R
касаются внешним образом, то отрезок их общей внешней касательной, заключённый между точками касания равен 2\sqrt{rR}
(см. задачу 365).
Решение. Пусть ABC
— прямоугольный треугольник, в котором \angle C=90^{\circ}
, \angle A=30^{\circ}
, BC=1
. Тогда AB=2
, AC=\sqrt{3}
. Обозначим через x
, y
и z
радиусы сфер с центрами O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
, касающихся плоскости треугольника ABC
в точках A
, B
и C
соответственно и попарно касающихся между собой внешним образом (рис. 1).
Прямые O_{2}B
и O_{3}C
перпендикулярны плоскости треугольника ABC
, поэтому O_{2}B\parallel O_{3}C
. Проведём через эти прямые плоскость (рис. 2). Получим касающиеся окружности радиусов y
и z
с центрами O_{2}
, O_{3}
и прямую, касающуюся этих окружностей в точках B
и C
. Поскольку BC=1
, имеем уравнение 2\sqrt{yz}=1
(см. задачу 365). Аналогично 2\sqrt{xy}=2
и 2\sqrt{xz}=\sqrt{3}
. После очевидных преобразований получим систему уравнений
\syst{xy=1\\xz=\frac{3}{4}\\yz=\frac{1}{4}.\\}
Перемножив почленно два первых уравнения и разделив результат на третье, найдём, что x=\sqrt{3}
. Аналогично находим y
и z
.