7554. Основание пирамиды ABCS
— равносторонний треугольник ABC
со стороной 4\sqrt{2}
. Боковое ребро SC
перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S
и середину ребра BC
, а другая проходит через точку C
и середину ребра AB
.
Ответ. 45^{\circ}
, \frac{2}{\sqrt{3}}
.
Указание. Пусть M
и K
— середины рёбер BC
и AB
соответственно. Выберите прямоугольную систему координат. Через прямую SM
проведите плоскость, параллельную прямой CK
. Затем найдите расстояние от произвольной точки прямой CK
до проведённой плоскости.
Решение. Первый способ. а) Пусть M
и K
— середины рёбер BC
и AB
соответственно, E
— середина отрезка BK
, N
— точка пересечения прямых EM
и AC
. Тогда EM
— средняя линия треугольника BCK
, поэтому EN\parallel CK
. Значит,
\angle CNM=\angle ACK=30^{\circ},~\angle CMN=\angle ACM-\angle CNM=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ},
треугольник CMN
равнобедренный, CN=CM
. Из равенства прямоугольных треугольников SCN
и SCM
следует, что SN=SM
, т. е. треугольник MSN
также равнобедренный. Тогда
CN=CM=2\sqrt{2},~MN=CM\sqrt{3}=2\sqrt{6},~
SN=CM=\sqrt{SC^{2}+CM^{2}}=\sqrt{4+8}=2\sqrt{3}.
Пусть Q
— середина MN
. Тогда
\cos\angle SMQ=\frac{MQ}{SM}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Следовательно, \angle SMQ=45^{\circ}
.
Осталось заметить, что угол между скрещивающимися прямыми CK
и SM
равен углу между прямой SM
и прямой ME
, параллельной CK
, т. е. углу SMQ
.
Поскольку ME\parallel CK
, прямая CK
параллельна плоскости MSN
, поэтому расстояние между прямыми CK
и SM
равно расстоянию от любой точки прямой CK
до плоскости MSN
(см. задачу 7889), например, от точки C
.
Опустим перпендикуляр CH
на высоту SQ
равнобедренного треугольника MSN
. Тогда CH
— перпендикуляр к плоскости MSN
,
CQ=\frac{1}{2}CM=\sqrt{2},~SQ=\sqrt{SC^{2}+CQ^{2}}=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}.
Следовательно,
CH=\frac{SC\cdot CQ}{SQ}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Второй способ. Пусть M
и K
— середины рёбер BC
и AB
соответственно, P
— проекция точки M
на прямую, проходящую через вершину C
параллельно AB
. Выберем систему координат с началом в точке C
. Ось x
направим по лучу CP
, ось y
— по лучу CK
, ось z
— по лучу CS
. Тогда координаты концов отрезков SM
и CK
таковы:
S(0;0;2),~M(\sqrt{2};\sqrt{6};0),~C(0;0;0),~K(0;2\sqrt{6};0).
Найдём координаты векторов \overrightarrow{SM}
и \overrightarrow{CK}
:
\overrightarrow{SM}=(\sqrt{2};\sqrt{6};-2),~\overrightarrow{CK}=(0;2\sqrt{6};0).
Пусть \varphi
— угол между векторами \overrightarrow{SM}
и \overrightarrow{CK}
. Тогда (см. задачу 4900)
\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{SM}\cdot\overrightarrow{CK}}{|\overrightarrow{SM}|\cdot|\overrightarrow{CK}|}=\frac{12}{\sqrt{12\cdot24}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Если \alpha
— угол между прямыми SM
и CK
, то
\cos\alpha=|\cos\varphi|=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Следовательно, \alpha=45^{\circ}
.
Прямая CK
параллельна прямой MP
, значит, прямая CK
параллельна плоскости SMP
. Уравнение этой плоскости имеет вид
\frac{x}{CP}+\frac{z}{CS}=1
(уравнение плоскости в отрезках, см. задачу 7564), или
\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{z}{2}-1=0.
Расстояние между прямыми SM
и CK
равно расстоянию от произвольной точки прямой CK
(например, от точки C(0;0;0)
) до этой плоскости. Если \rho
— искомое расстояние, то (см. задачу 7563)
\rho=\left|\frac{-1}{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}\right|=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Третий способ. Вычисление расстояния. Через точку C
параллельно AB
проведём прямую l
. Через пересекающиеся прямые l
и SC
проведём плоскость \gamma
. Тогда \gamma\perp SN
. Пусть M'
— ортогональная проекция точки M
на плоскость \gamma
. Тогда точка M'
лежит на прямой l
, и при этом длина отрезка M'C
равна половине расстояния от точки M
до прямой CN
, т. е. \sqrt{2}
. Расстояние между скрещивающимися прямыми SM
и CN
равно расстоянию от точки C
до ортогональной проекции прямой на плоскость \gamma
(см. задачу 8406), т. е. до прямой SM'
.
Проведём высоту CT
из вершины прямого угла C
треугольника SCM'
. Тогда искомое расстояние равно длине отрезка CT
, т. е.
CT=\frac{CM'\cdot CS}{\sqrt{CM'^{2}+CS^{2}}}=\frac{\sqrt{2}\cdot2}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}
(см. задачу 1967).