8050. В треугольной пирамиде ABCD
известно, что AB\perp CD
, AC\perp BD
, AC=BD
, BC=a
. Кроме того, известно, что некоторый шар касается всех рёбер этой пирамиды. Найдите радиус шара.
Ответ. \frac{a\sqrt{2}}{4}
.
Указание. Докажите, что данная треугольная пирамида ABCD
— правильный тетраэдр (см. задачи 7041, 7808, 7273 и 7336).
Решение. Обозначим AC=BD=x
. Поскольку AB\perp CD
и AC\perp BD
, данный тетраэдр ортоцентрический (см. задачу 7808), поэтому
AB^{2}+CD^{2}=4x^{2},~AC^{2}+BD^{2}=4x^{2},~AD^{2}+BC^{2}=4x^{2}
(см. задачу 7273).
Поскольку сфера касается всех рёбер тетраэдра ABCD
, тетраэдр каркасный, поэтому
AB+CD=AD+BC=AC+BD=2x
(см. задачу 7336).
Рассмотрим равенства
AB+CD=2x,~AB^{2}+CD^{2}=2x^{2}.
Возведём обе части первого равенства в квадрат и вычтем из полученного равенства второе. Из системы
AB+CD=2x,~AB\cdot CD=x^{2},
находим, что AB=CD=x
. Аналогично AD=BC=x
. Значит,
x=AD=BC=AB=CD=AC=BD=a.
Следовательно, ABCD
— правильный тетраэдр с ребром a
. Его описанный параллелепипед (см. задачу 7041) — куб, диагональ грани которого равна a
, а ребро равно \frac{a}{\sqrt{2}}
. Данная сфера вписана в этот куб, поэтому радиус шара вдвое меньше ребра куба, т. е.
r=\frac{a}{2\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{4}.