8292. Постройте сечения тетраэдра ABCD
параллельными плоскостями, одна из которых проходит через медиану BN
грани BCD
, а вторая — через медиану DM
грани ABD
. В каком отношении эти плоскости делят отрезок AC
?
Ответ. 1:1:1
.
Указание. Проведите плоскость через прямую BN
и середину медианы CM
треугольника ABC
.
Решение. Известно, что через две скрещивающиеся прямые можно провести единственную пару параллельных плоскостей (см. задачу 7105).
Пусть K
— середина медианы CM
грани ABC
, а прямая BK
пересекает ребро AC
в точке P
. Тогда плоскость BPN
параллельна прямой AD
, так как прямая KN
, лежащая в этой плоскости, параллельна прямой DM
как средняя линия треугольника CMD
.
Пусть прямая, проходящая через точку M
параллельно BP
, пересекает ребро AC
в точке Q
. Тогда плоскость DMQ
параллельна плоскости BPN
, так как две пересекающиеся прямые MQ
и MD
плоскости DMQ
соответственно параллельны двум пересекающимся прямым BP
и KN
плоскости BPN
.
Таким образом, искомые сечения — это треугольники BPN
и DMQ
.
Через точку C
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть эта прямая пересекается с продолжением отрезка BP
в точке T
. Треугольники CKT
и MKB
равны по стороне (KT=BK
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому CT=BM=\frac{1}{2}AB
. Из подобия треугольников CPT
и APB
следует, что
\frac{CP}{AP}=\frac{CT}{AB}=\frac{\frac{1}{2}AB}{AB}=\frac{1}{2}.
По теореме Фалеса AQ=QP
, значит,
AQ=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}AC=\frac{1}{3}AC.
Следовательно, \frac{CQ}{AQ}=2
.