9250. В правильной треугольной пирамиде SABC
сторона основания AB
равна 12, а боковое ребро SA
равно 8. Точки M
и N
— середины рёбер SA
и SB
соответственно. Плоскость \alpha
содержит прямую MN
и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость \alpha
делит медиану CE
основания в отношении 5:1
, считая от точки C
.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C
, а основанием — сечение пирамиды SABC
плоскостью \alpha
.
Ответ. \frac{80\sqrt{3}}{3}
.
Решение. а) Прямая MN
параллельна плоскости ABC
, поэтому сечение пересекает плоскость ABC
по прямой PQ
(точки P
и Q
лежат на AC
и BC
соответственно), параллельной MN
(см. задачу 8003). Рассмотрим плоскость SCE
. Пусть K
и L
— точки пересечения этой плоскости с прямыми MN
и PQ
соответственно, O
— центр основания пирамиды. Плоскость MNQ
перпендикулярна плоскости ABC
по условию, плоскость SCE
перпендикулярна плоскости ABC
, так как она проходит через прямую SO
, перпендикулярную плоскости ABC
(см. задачу 7710). Значит, прямая KL
пересечения плоскостей MNQ
перпендикулярна плоскости ABC
(см. задачу 9104), и поэтому параллельна прямой SO
.
Поскольку MN
— средняя линия треугольника ASB
, точка K
— середина отрезка ES
. Значит, L
— середина отрезка EO
. Медиана CE
треугольника ABC
делится точкой O
в отношении CO:OE=2:1
. Пусть CE=6a
. Тогда
OE=\frac{1}{3}CE=2a,~LE=\frac{1}{2}OE=a,~CL=6a-a=5a.
Следовательно, CL:LE=5a:a=5:1
.
б) Прямая CL
перпендикулярна пересекающимся прямым KL
и PQ
плоскости MNQP
, значит, CL
— высота пирамиды CMNQP
. Эта высота равна
CL=\frac{5}{6}CE=\frac{5}{6}\cdot\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{6}\cdot6\sqrt{3}=5\sqrt{3}.
В трапеции MNQP
известно, что
MN=\frac{1}{2}AB=6,~PQ=\frac{5}{6}AB=10,~
KL=\frac{1}{2}SO=\frac{1}{2}\sqrt{SC^{2}-CO^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{SC^{2}-\left(\frac{2}{3}CE\right)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{8^{2}-(4\sqrt{3})^{2}}=2.
Значит, площадь трапеции MNPQ
равна \frac{MN+PQ}{2}\cdot KL=16
. Следовательно, объём пирамиды
V_{CMNQP}=\frac{1}{3}S_{MNQP}\cdot CL=\frac{1}{3}\cdot16\cdot5\sqrt{3}=\frac{80\sqrt{3}}{3}.