9377. В закрытой коробке, имеющей форму куба с ребром 5, лежат два шара. Радиус первого из них равен 2. Этот шар касается плоскости основания и двух соседних боковых граней. Второй шар касается двух других боковых граней куба, плоскости основания и первого шара. Чему равен радиус второго шара?
Ответ. 1.
Решение. Пусть шар радиуса 2 с центром O
касается граней AA_{1}B_{1}B
, AA_{1}D_{1}D
и основания ABCD
в точке M
; шар радиуса r
с центром Q
касается граней BB_{1}C_{1}C
, DD_{1}C_{1}C
и основания ABCD
в точке N
, а также касается первого шара.
Заметим, что точки M
и N
лежат на диагонали AC
квадрата ABCD
. Проведём сечение куба и шаров плоскостью, проходящей через параллельные прямые OM
и QN
. Получим, касающиеся окружности радиусов 2 и r
и их общую касательную MN
. Тогда MN=2\sqrt{2r}
(см. задачу 365), AM=\sqrt{2}
и CN=r\sqrt{2}
, причём AM+MN+NC=5\sqrt{2}
, или
2\sqrt{2}+2\sqrt{2r}+r\sqrt{2}=5\sqrt{2},~r+2\sqrt{r}-3=0.
Отсюда находим, что r=1
.